V? ?i?u không v?n (k? 4)

Kh? I�m

C?T B??C V�O ??I

Cu?c ??i c� nh?ng chuy?n l? l�ng, kh�ng ai ng? tr??c, ch? v?i m?t chi?c m�y ?i?n to�n ?� ??a t?i s? kh�m ph� ra l� thuy?t h?n mang v� h�nh h?c Fractal (Fractal Geometry), ?? r?i khoa h?c b??c ra kh?i th? gi?i thu?n l�, tr?u t??ng, tr? v? hi?n th?c, gi?i th�ch nh?ng hi?n t??ng ??i s?ng. L� thuy?t h?n mang ???c ??nh ngh?a nh? s? v?n h�nh ng?u nhi�n x?y ra trong m?t h? th?ng t?t ??nh. M?t s? c? x?y ra, x?y ra ai c?ng c� th? bi?t tr??c v� n� ?� t?ng x?y ra trong qu� kh?. Newton v� Einstein ??u c?n c? tr�n nguy�n l� t?t ??nh nh? th? qua nh?ng c�ng tr�nh khoa h?c c?a h?. Nh?ng th?c t? kh�ng bao gi? c� chuy?n ?�, v� ch? m?t ?nh h??ng t�nh c? r?t nh?, ngo�i s? hi?u bi?t c?a ch�ng ta, v� c� khi ch?ng li�n quan t?i bi?n c?, c?ng ??a t?i k?t qu? kh�c h?n.

H?n hai ng�n n?m k? t? Euclid, v� g?n ba tr?m n?m k? t? Newton, khoa h?c l�m m?t cu?c c�ch m?ng ch?a t?ng c�, v?i l� thuy?t h?n mang v� h�nh h?c Fractal, tr? th�nh T�n khoa h?c (New Science), thay ??i s? am hi?u to�n tri?t c?a con ng??i v? hi?n th?c. N?u khoa h?c ???c coi nh? tri?t h?c t? nhi�n (Natural Philosophy) th� t? b?y l�u nay, ?� kh�ng ?�ng v?i th?c t?i, b?i th? gi?i ch�ng ta ?ang s?ng kh�ng c� nh?ng g�c c?nh tr?n tru (smooth edge), m� l� th� nh�m (rough edge). Nh?ng b? m?t tr?n tru kh�ng c� trong thi�n nhi�n, v� h�nh h?c Euclid v?i ???ng th?ng, ???ng tr�n, h�nh vu�ng, kh?i vu�ng, ch? l� nh?ng h�nh d?ng l� t??ng c?a con ng??i, kh�ng ph?i do thi�n nhi�n t?o ra. Euclid l� m?t nh� to�n h?c Hy l?p, s?ng v�o kho?ng 300 tr??c c�ng nguy�n, h?c tr� c?a h?c tr� Plato, l� gi�o s? v� h?c gi? t?i Alexandria, Ai c?p, t�c gi? cu?n �The Elements�. ??nh ?? Euclid g?m 5 ??nh ?? c?n b?n:

1. C� th? v? m?t ???ng th?ng ?i qua b?t c? hai ?i?m n�o.

2. C� th? k�o d�i ???ng th?ng ??n v� t?n.

3. C� th? v? m?t ???ng tr�n v?i m?t b�n k�nh v� t�m ?i?m.

4. T?t c? c�c g�c gi?ng nhau ??u b?ng nhau.

5. V?i m?t ???ng th?ng v� m?t ?i?m ? ngo�i ???ng th?ng, ch? c� th? v? m?t ???ng th?ng song song, v� ch? m?t ???ng th?ng m� th�i.

H�nh h?c Euclid c�n g?i l� h�nh h?c ph?ng, ???c coi nh? b?n th�nh kinh v? to�n h?c, chi ph?i v� ???c �p d?ng cho ??n n?a th? k? th? 19, khi h�nh h?c phi Euclid (Non-Euclid), ???c ph�t hi?n v?i nh?ng nh� to�n h?c nh? Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Nh� to�n h?c Nga Nikolay Ivanovich Lobachevsky (1793-1856) v� nh� to�n h?c Hungary Janos Bolyai (1802-1860). H�nh h?c phi Euclid ch? kh�ng ??ng � v?i h�nh h?c Euclid m?t ?i?m: �V?i m?t ???ng th?ng L v� t? m?t ?i?m ngo�i ???ng th?ng, c� th? v? v� s? nh?ng ???ng th?ng song song v?i ???ng th?ng L.� T?i th? k? th? 15, Johannes Kepler (1571-1603) l� ng??i ??u ti�n nh?n ra qu? ??o c?a nh?ng h�nh tinh l� h�nh b?u d?c (ellipse), kh�ng ph?i v�ng tr�n. Sir Issac Newton (1642-1727) v� Gottfried Wilheim Leibniz (1646-1716) ph�t hi?n ra Calculus, d�ng ph�p vi ph�n (differentiation) v� t�ch ph�n (integration), m? ra c�ch c?a v� c�ng t?n ?? di?n ??t v� gi?i th�ch nh?ng b� ?n c?a v? tr? qua to�n h?c. V� sau n�y Einstein d?a v�o � ni?m c?a c? h�nh h?c phi Euclid v� Newton ?? ph�t tri?n thuy?t t??ng ??i.

V�o th?p ni�n 1970, Benoit Mandelbrot (sinh n?m 1924), nh� to�n h?c v� v?t l� Ph�p sinh t?i Ba lan, l�m vi?c cho h�ng IBM, ?� kh�m ph� ra h�nh h?c Fractal (Fractal Geometry), t�c ph?m c?a �ng, �The Fractal Geometry of Nature� (1977), khi quan s�t v� nghi�n c?u nh?ng h�nh d?ng kh�ng ??u ??n, kh�ng li�n t?c v� ??t g�y, trong thi�n nhi�n. Y?u t? ch�nh c?a h�nh h?c Fractal l� s? t? t??ng ??ng (Self- Similarity), c� ngh?a l� n?u ph�ng ??i m?t h�nh ?nh, n� s? gi?ng y h�nh ?nh ch?a ph�ng ??i. C? th?, khi b? m?t nh�nh b�ng c?i (cauliflower), c? b? nh? d?n, nh? d?n, mi?ng nh? tr�ng gi?ng y mi?ng l?n v� to�n th?. Mandelbrot kh?i ??u l� m?t nh� kinh t? h?c. Nh?ng nh� kinh t? tin t??ng r?ng m?t thay ??i r?t nh? s? kh�ng c� ?nh h??ng g� trong th?i k? d�i, nh?ng Mandelbrot nh�n v�o h? th?ng m?t c�ch to�n th?, kh�ng lo?i b? nh?ng thay ??i nh? ra kh?i c�i to�n c?nh l?n, ch� � ??n s? th?ng tr?m trong nh?ng d? ki?n kh�c nhau, nh?n ra ??c ?i?m, gi� b�ng g�n tr? l?i sau nhi?u n?m. Khi nh�n v�o d? ki?n t? nhi?u thang s? kh�c nhau, nh?ng d?ng th?c t�i di?n tr? l?i, nh? khi v? bi?u ?? v? s? thay ??i gi� c? h�ng ng�y v� h�ng th�ng, bi?u ?? tr�ng r?t quen thu?c. M?t l?n �ng gi?i quy?t ti?ng ?n, l�c m?t ti?ng, l�c b?t th�nh l�nh l?i b�ng l�n, trong ???ng d�y ?i?n tho?i d�ng ?? n?i v?i nhi?u computer. Nh?ng d?ng th?c ti?ng ?n lu�n lu�n x?y ra t?ng ch�m, v� khi l?y m?t th?i k? ti?ng ?n, ph�ng ??i l�n, �ng th?y c� v�i th?i k? kh�ng ti?ng. Nh?ng th?i k? ti?ng ?n lu�n lu�n c� th?i k?, c� t�nh truy?n d?n t?t ?n ? b�n trong.

H�nh h?c Fractal gi? vai tr� then ch?t trong l� thuy?t h?n mang. N?u h�nh h?c Fractal l� s? t? t??ng ??ng ? b?t c? thang s? n�o, gi?ng nh? nh�nh b�ng c?i th� h?n mang t�y thu?c v�o s? nh?y c?m c?a nh?ng ?i?u ki?n kh?i ??u v� kh�ng th? ?o�n tr??c. James Gleick, trong cu?n �Chaos, Making a New Science� nh?n m?nh, trong th? k? 20 c� ba cu?c c�ch m?ng l?n v? khoa h?c, ?� l� l� thuy?t t??ng ??i, l� thuy?t c? h?c l??ng t? v� l� thuy?t h?n mang. �Thuy?t t??ng ??i b�c b? ?o t??ng Newton v? s? tuy?t ??i c?a kh�ng gian v� th?i gian, thuy?t l??ng t? b�c b? gi?c m? Newton v? ti?n tr�nh ki?m so�t ?o l??ng v� thuy?t h?n mang b�c b? s? kh�ng t??ng c?a Laplace v? s? ti�n ?o�n t?t ??nh.� Pierre-Simon Laplace (1749-1827) l� m?t nh� v?t l� Ph�p, n?i ti?ng trong m?t tr�ch d?n, th??ng g?i l� �Laplace�s Demon�, cho r?ng tr?ng th�i hi?n t?i c?a v? tr? l� k?t qu? c?a qu� kh? v� nguy�n nh�n c?a t??ng lai. M?i th? ??u ???c ti�n ?o�n tr??c, kh�ng t�nh c?, kh�ng ch?n l?a, ch?c ch?n, v� qu� kh? ho�n to�n quy?t ??nh t??ng lai, theo nguy�n l� t?t ??nh.

Nh?ng t? Newton ??n Poincar�, kh�ng ai gi?i quy?t n?i t�nh tr?ng nan gi?i v� ??n gi?n v? qu? ??o c?a m?t ??t (earth) v� hai m?t tr?i (sun). V� ph?i ??i l� thuy?t h?n mang v� h�nh h?c Fractal m?i gi?i t?a ???c b? t?c r?t nh? n�y, sai m?t ly ?i m?t d?m, ?� ??y khoa h?c theo m?t chi?u tuy?n t�nh g?n ba th? k?. Tuy nhi�n, T�n khoa h?c kh�ng ph? nh?n, m� bao g?m c? khoa h?c c? ?i?n. C?ng nh? h�nh h?c Fractal l� n?i d�i, kh�ng thay th? m� ch? l�m phong ph� v� s�u xa th�m s?c m?nh c?a h�nh h?c Euclid. Phi t?t ??nh bao g?m t?t ??nh, phi tuy?n t�nh bao g?m tuy?n t�nh, c?ng nh? h?n mang bao g?m nh?ng y?u t? tr?t t?.

V?n ?? ba thi�n th? (Three-body problem)

Khi Newton kh�m ph� ra lu?t chuy?n ??ng v� tr?ng l?c (Laws of Motion and Gravitation), �ng d�ng hai kh�m ph� n�y ?? gi?i th�ch qu? ??o tr�i ??t chung quanh m?t tr?i � m?t tr?i l� m?t ??nh tinh trong kh�ng gian v� qu? ??o tr�i ??t l� h�nh b?u d?c. C� th? n�i, m?t tr?i l� m?t attractor c?a tr�i ??t. Nh?ng v? tr? kh�ng ph?i ch? c� tr�i ??t v� m?t tr?i m� c�n nhi?u thi�n th? kh�c, nh? v?y qu? ??o c?a to�n th? v? tr? ?�u ph?i ch? l� m?t h�nh b?u d?c. ??n ??u th? k? 20, nh� to�n h?c Henri Poincar� (1854-1912) trong m?t nghi�n c?u v? v?n ?? ba thi�n th? (Three-body Problem) cho th?y, s? ti?n h�a c?a h? th?ng nh? v?y th??ng h?n mang, b?i m?t x�o tr?n nh? trong tr?ng th�i ??u ti�n c?a m?t trong ba thi�n th? c� th? thay ??i tri?t ?? tr?ng th�i sau c�ng. S? thay ??i nh? nh�ng ?� kh� c� th? ph�t hi?n b?ng ph??ng ti?n ?o l??ng, v� th? kh�ng th? n�o ?o�n tr??c chuy?n g� s? x?y ra. L� do v�, tr?ng l?c l� m?t l?c phi tuy?n t�nh, v� trong h? th?ng ba thi�n th?, m?i thi�n th? t?o ra l?c tr�n hai thi�n th? kia, d?n t?i s? ph?n h?i phi tuy?n t�nh v� chuy?n ??ng h?n mang c?a nh?ng qu? ??o. Poincar� ch�nh l� ng??i ??u ti�n kh�m ph� ra h?n mang, v� s? sai l?m c?a ch? ngh?a t?t ??nh, nh?ng kh�ng ai quan t�m t?i sau nhi?u th?p ni�n, b?i nh?ng nh� khoa h?c c�n b?n t?m t?i hai l� thuy?t quan tr?ng l� thuy?t l??ng t? v� thuy?t t??ng ??i.

V�o th?p ni�n 1960, b?ng computer, nh?ng nh� khoa h?c nh�n ra qu? ??o tr�i ??t v� hai m?t tr?i theo m� h�nh nh? sau:

H�nh 1

So s�nh hai h�nh b�n tr�i v� ph?i, v?i m?t ?i?m tr�i ??t ? gi?a hai m?t tr?i: tr�i ??t ch?y th?ng t? d??i l�n tr�n, v�ng qua m?t tr?i ? b�n ph?i, r?i ch?y t?i v? tr� c?, t?o th�nh hai qu? ??o g?n gi?ng nhau, sau ?� b?t ??u ph�n k?, kh�ng bao gi? l?p l?i nh? th? n?a. S? ph�n k? n�y l� do nh?ng kh�c bi?t r?t nh? m� ch�ng ta g?i l� s? t�y thu?c m?n c?m v�o nh?ng ?i?u ki?n ban ??u (Sensitive Dependence on Initial Conditions). Hai h�nh tr�n ch? l� qu? ??o trong m?t kho?ng th?i gian r?t ng?n.

H�nh 2

?�y l� to�n qu? ??o c?a tr�i ??t v� hai m?t tr?i, trong ti?n tr�nh t?i v� h?n. Qu? ??i tr�i ??t s? kh�ng bao gi? t? n� l?p l?i, tuy h?n mang ? b�n trong nh?ng v?n n?m trong m?t c?u tr�c, lu�n lu�n th?ng b?ng v� ?n ??nh. H? th?ng tr?ng l?c ??n gi?n n�y l� m?t h? th?ng h?n mang.

Hi?u ?ng c�nh b??m (Butterfly Effect)

L� thuy?t h?n mang ???c nh� kh� t??ng h?c Edward Lorenz (sinh n?m 1927) kh�m ph� ra v�o n?m 1961, khi �ng d�ng computer, vi?t m?t ch??ng tr�nh c?n b?n to�n h?c ?? nghi�n c?u m� h�nh ??n gi?n c?a th?i ti?t � s? t??ng quan gi?a ba y?u t? kh� t??ng phi tuy?n t�nh: nhi?t ??, �p xu?t v� s?c gi� � l�m sao m?t lu?ng kh�ng kh� n?i l�n r?i tan ?i d??i s?c n�ng m?t tr?i. Nh?ng m� s? computer c?a Lorenz g?m 12 ph??ng tr�nh to�n h?c cho nh?ng lu?ng ch?y c?a kh�ng kh�, di?n ??t s? li�n h? gi?a nhi?t ?? v� �p su?t, gi?a �p su?t v� s?c gi�. V� m� s? computer t?t ??nh, �ng ngh? r?ng khi ??a v�o c�ng m?t gi� tr? ban ??u, s? c� k?t qu? y nh? v?y khi ch?y ch??ng tr�nh. �ng ng?c nhi�n khi nh?n ???c k?t qu? kh�c bi?t, ki?m l?i th� ra, �ng ?� ??a v�o t?ng l�c nh?ng sai bi?t r?t nh?.

C�u chuy?n ???c k? l?i nh? sau:

V�o m?t ng�y n?m 1961, Lorenz mu?n th?y m?t ?o?n ??c bi?t n�o ?� m?t l?n n?a. Thay v� ch?y c? m?t chu?i d�i v� r?t l�u, �ng ?i t?t, b?t ??u ? kho?ng gi?a thay v� t? ??u. �ng ?�nh th?ng con s? ?� in ra t? l?n tr??c r?i b? ?i u?ng c� ph�. Khi tr? l?i kho?ng m?t gi? sau, �ng kh�ng tin ? m?t m�nh, bi?u ?? m?i ti?n tri?n kh�c h?n v?i bi?u ?? l�c ??u. Thay v� hai d?ng th?c gi?ng nhau, n� ph�n k? v� k?t th�c ho�n to�n kh�c. Sau ?� �ng m?i bi?t c� s? l?m l?n, thay v� ?�nh ?�ng con s? l� 0.506127 (trong b? nh? computer), �ng l?i ch? ?�nh 0.506. S? sai bi?t m?t ph?n n?m ng�n, th?t kh�ng h?p l�, v� �ng nghi?m ra, s? kh�c bi?t r?t nh? trong nh?ng ?i?u ki?n ??u, nh? m?t h?i gi� tho?ng, c?ng c� th? t?o n�n tai bi?n. Ti�n ?o�n th?i ti?t tr? n�n kh�ng th? ???c trong m?t th?i gian l�u d�i v� ch? c?n s? thay ??i t� ti c?a s?c gi�, �p xu?t hay nhi?t ??, ngay c? nh?ng y?u t? ngo�i th?i ti?t c?ng l�m x�o tr?n kh� h?u nh? m?t c�nh b??m ??p ch?ng h?n.

Bi?u ?? sau ?�y cho th?y s? ph�n k? c?a hai d?ng th?c 0.506 v� 0.506127, ch? kh�c bi?t m?t sai s? r?t nh? l� 0.000127. ?o?n ??u th� tr�ng l?p, nh?ng sau ?� th� ph�n k? r?t l?n. (H�nh 3)

H�nh 3

V?i m?c ?�ch th? nghi?m, �ng nghi�n c?u th�m s? ??i l?u c?a ch?t l?ng (fluid convection), g?i l� h? th?ng d?ng kh� (gaseous system), b? ch?t kh� (homogenous, preferably elemental, gaseous substance) v�o m?t chi?c h?p h�nh ch? nh?t v� ?un n�ng l�n.

H�nh 4

M?i ??u, m?t ph?n ch?t l?ng g?n v?i v�ch h?p b?t ??u n�ng v� n?i l�n, t?i m?t ?? n�ng nh?t ??nh, ch?t l?ng cu?n l?i, n?m theo chi?u d�i h?p (h�nh b�n tr�i). Ch?t l?ng ?m n?i l�n v? m?t b�n, ??ng qui, ch?t l?ng ngu?i r?i v�o b�n kh�c � ti?n tr�nh ??i l?u. V?i nhi?t ?? b�nh th??ng, s? chuy?n ??ng tr�n c?a ch?t l?ng s? b�nh th??ng v� bi?t tr??c. Nh?ng khi nhi?t ?? n�ng h?n (h�nh b�n ph?i), h? th?ng m?t ?n ??nh, chao ??o d?c theo chi?u d�i h�nh ?ng vi�n tru (cylinder)�, t? sau ra tr??c. Nh?ng d�ng cu?n kh�ng ??n gi?n cu?n l?i trong c�ng m?t chi?u, m� cu?n l?i theo m?t chi?u, ng?ng m?t l�t r?i cu?n ngh?ch l?i. Sau ?�, ??t nhi�n, ch?t l?ng cu?n ngh?ch l?i l?n n?a, dao ??ng ti?p t?c ? m?t th?i ?i?m v� t?c ?? kh�ng th? bi?t tr??c. V?i nhi?t ?? cao, h? th?ng tr? n�n h?n mang.

Sau ?� �ng l�m th? nghi?m v?i h? th?ng quay n??c (waterwheel), c?ng cho k?t qu? t??ng t?.

B?n ??c c� th? ??c nh? m?t ghi ch� (trong b�i).

Th� nghi?m v?i h? th?ng d?ng kh�, ch�ng ta c� ba ph??ng tr�nh vi ph�n phi tuy?n t�nh, bi?u di?n tr�n hai tr?c ho�nh ?? (th?i gian t) v� tung ?? x, y, z. Ba bi?u ?? x, y, z l?n l??t nh? sau:

V?i X l� ?? quay c?a h�nh ?ng vi�n tr?, tr? s? 10 (delta) l� ?? tr?n c?a ch?t l?ng. Ch�ng ta c� ph??ng tr�nh:

dx/dt = -10x + 10y

H�nh 5

V?i Y l� s? kh�c bi?t nhi?t ?? gi?a hai b�n ??i di?n c?a h�nh ?ng vi�n tr?, tr? s? 28 (r) l� s? kh�c bi?t nhi?t ?? c?a ch?t l?ng ? tr�n m?t v� ph?n d??i ?�y. Ch�ng ta c� ph??ng tr�nh:

dy/dt = 28x � y +xz

H�nh 6

V?i Z l� ?? l?ch c?a h? th?ng theo tuy?n t�nh, tr? s? 8/3 (b) l� t? l? gi?a b? r?ng v� b? cao

c?a h?p. Ch�ng ta c� ph??ng tr�nh:

dz/dt = -8/3x + xy

H�nh 7

N?u k?t h?p bi?n s? (variable) c?a ba ph??ng tr�nh tr�n m?t kh�ng gian (v? t??ng) nhi?u chi?u (phase space), ch�ng ta c� hi?u ?ng c�nh b??m. G?i nh? th? v� nh?ng qu? ??o lu�n lu�n ph?n h?i v� l?p l?i, nh?ng v� nh?ng ?i?u ki?n ??u kh�ng bao gi? gi?ng nhau, n�n d� l?p l?i nh?ng c�c qu? ??o kh�ng bao gi? tr�ng l?p. ?�y l� bi?u ?? nh�n qua m?t m?t ph?ng:

H�nh 8

Nh�n h�nh v? tr�n, gi?ng nh? hai c�nh b??m (c� khi l� h�nh d?ng hai m?t c�, c� khi gi?ng nh? hai chi?c ??a gi?y, n?m song song), n?i k?t v?i nhau b?i m?t cu?n d�y ch?, ???c v? t? m?t ?i?m ? ngo�i c�nh b??m, v�ng qua c�nh b�n ph?i, v??n t?i trung t�m c�nh b�n tr�i, v� ti?p t?c ?an d?t qua l?i gi?a hai c�nh, chuy?n ??ng t??ng nh? ng?u nhi�n, ph?n ?nh ti?n tr�nh h?n mang. Hi?u ?ng c�nh b??m Lorenz theo ?�ng v?i ti?n tr�nh qu? ??o c?a ba thi�n th?, t�y thu?c m?n c?m v�o nh?ng ?i?u ki?n ??u ti�n, nh?ng thay ??i r?t nh? trong m?t h? th?ng ??ng qui c� th? t?o n�n k?t qu? kh�c bi?t r?t l?n. V� h�nh sau ?�y gi�p ch�ng ta nh�n th?y r� h?n qu? ??o c?a ba ph??ng tr�nh tr�n computer, tr�n m?t kh�ng gian ?a chi?u, r?t d? h�nh dung.

H�nh 9

Nh?n ra ???c hi?u ?ng c�nh b??m c?a Lorenz, ch�ng ta nh?n ra ???c s? v?n h�nh c?a hi?n t??ng h?n mang. D? nhi�n m?i hi?n t??ng c� m?t hi?u ?ng c�nh b??m kh�c nhau, nh?ng y?u t? tr?t t? v� th? l� y?u t�nh c?a tr?t t?. ?? hi?u ???c y?u t? tr?t t? (hay d?ng th?c) hi?n ra nh? th? n�o, c?n t?i s? gi?i th�ch c?a ph??ng tr�nh v?n th?c (Logistic Equation).

B?n ?? v?n th?c (The Logistic Map)

Nh� kinh t? ch�nh tr? h?c ng??i Anh, Thomas Malthus (1766-1834), quan t�m t?i ?i?u ki?n sinh s?ng ? Anh v�o th? k? 19, nh?n x�t r?ng d�n s? t?ng theo c?p s? nh�n trong khi th?c ph?m ch? t?ng m?t c�ch tuy?n t�nh, v� nh? th? s? ??a t?i n?n ?�i t?p th?, n?u kh�ng ?i?u h�a s? sinh s?n, nh?t l� n?i nh?ng giai c?p th?p. Nh?ng tr�n th?c t?, khi d�n s? t?ng t?i m?t m?c n�o ?�, s? kh�ng t?ng n?a. Th?p ni�n 1940, nh� to�n h?c �o Pierre Francois Verhulst (1804-49), ??a ra m?t ph??ng tr�nh qua ?� c� th? t�m ra ???c t�nh tr?ng ?n ??nh trong vi?c t?ng d�n s?. Ph??ng tr�nh v?n th?c phi tuy?n t�nh c?a Verhulst � ?� b? b? qu�n, c� l? v� thi?u d? ki?n d�n s? th�ch ?�ng ?? �p d?ng � ti�n ?o�n, trong nh?ng tr??ng h?p ph� h?p, d�n s? s? c�n b?ng v� ?n ??nh. N?u d�n s? gi?m d??i m?t m?c nh?t ??nh n�o ?�, n?m sau c� khuynh h??ng t?ng, trong khi l�n qu� cao (thi?u ch? ? v� l??ng th?c), s? gi?m xu?ng.

V�o th?p ni�n 1970, Robert May (sinh n?m 1936), m?t nh� sinh th�i h?c ?� v�n m�n b� m?t, khi ch� � t?i ph??ng tr�nh Verhulst, cho r?ng gia t?ng s? m?n c?m c?a h? th?ng, t?o n�n s? dao ??ng (oscillation) k? l?, d�n s? t?ng qu� nhi?u trong n?m s? c� s? b� tr?, gi?m trong n?m k? ti?p, v� tr? l?i t?ng trong n?m sau n?a. D?ng th?c l?p l?i c? trong 2 n?m, v� l?p l?i m�i m�i, g?i l� s? tr�ng l?p (iteration).

Ph?n n�y c?ng ch? nh? m?t ghi ch�, ch?ng minh m?t c�ch ch�nh x�c nh?ng y?u t? tr?t t? hi?n ra nh? th? n�o.

X (next) = rx(1-x)

C�ng th?c phi tuy?n t�nh tr�n c� � ngh?a, n?u X tr? n�n l?n h?n, th� (1 � X) s? tr? n�n nh? h?n, t?o n�n s? ph?n h?i (feedback)

Th� d? v?i s? t?ng gi?m c�.

X ti�u bi?u cho m?t s? gi?a Zero v� 1. Zero ti�u bi?u cho s? tuy?t gi?ng v� 1 ti�u bi?u cho s? t?ng tr??ng t?i ?a d�n s?. r l� m?c ?? t?ng (growth rate), m?t h?ng s?.

Cho r = 2.6

Gi? th? x = 0.2.

1-x = 0.8 v� x(x-1) = 0.2 x 0.8 = 0.16

Nh�n v?i 2.6 v� ch�ng ta c� 0.416.

L?y ??u ra l� 0.416 l�m ??u v�o, b?t ??u l?i v?i c�ng th?c tr�n. B�y gi? ch�ng ta b?t ??u

v?i x = 0.416 v� ???c 0.6317. S? c� t?ng.

B?t ??u v?i 0.6317 v� ???c 0.6049. S? c� gi?m.

B?t ??u v?i 0.6049 v� ???c 0.6214. S? c� l?i t?ng.

R?i ti?p t?c ch�ng ta ???c: 0.6117, 0.6176, 0.6141, 0.6162, 0.6150, 0.6156, 0.6152,

0.6155, 0.6153, 0.6154, 0.6153, 0.6154, 0.6154, 0.6154.

V?i r = 2.6 ch�ng ta ch? c� m?t gi� tr? ?n ??nh l� 0.6154 (negative feedback)

L�m nh? th? v?i r = 3.1, cu?i c�ng ch�ng ta c� nh?ng s? 0.5582, 0.7645, 0.5582, 0.7645.

V?i r = 3.1 ch�ng ta c� hai gi� tr? ?n ??nh: 0.5582 v� 0.7645.

L�m nh? th? v?i r = 3.5, cu?i c�ng ch�ng ta c� ???c: 0.8750, 0.3828, 0.8270, 0.5011,

0.8750, 0.3828, 0.8270.

V?i r = 3.5 ch�ng ta c� 4 gi� tr? ?n ??nh: 0.8750, 0.3828, 0.8270, 0.5011

Theo c�ch t�nh tr�n, n?u l?y ??u ra (output) c?a m?t l?n t�nh, l�m ??u v�o (input) c?a m?t l?n t�nh th? hai, v� c? nh? th? m�i m�i, cho ta � ni?m v? s? tr�ng l?p nh?ng con s? ?n ??nh. C� ngh?a l� trong m?t h? th?ng h?n mang, nh?ng d?ng th?c tr?t t? xu?t hi?n, nh?ng lu�n lu�n thay ??i v� kh�ng bao gi? gi?ng v?i d?ng th?c tr?t t? ban ??u. ?i?m r? (Birfurcation Point) ??u ti�n khi r = 2.6 (tr�n tr?c ho�nh ??), t?o n�n tr? s? ?n ??nh 0.6154 (tr�n tr?c tung ??), nh?ng sau ?� s? m?n c?m c?a h? th?ng gia t?ng, tr? s? ?n ??nh b? dao ??ng, v� v? n�n nh?ng ???ng qu? ??o ti?n t?i th?i k? hai, v?i r= 3.1 v� hai tr? s? ?n ??nh 0.5582 v� 0.7645. V� ? th?i k? 4, v?i r= 3.5 v� b?n tr? s? ?n ??nh l� 0.8750, 0.3828, 0.8270, 0.5011, r?i sau ?� ?i v�o h?n mang. Nh?ng trong h?n mang lu�n lu�n ti?p t?c xu?t hi?n nh?ng y?u t? ?n ??nh, v� l?p l?i to�n c�ch t�nh, n?u ch�ng ta ti?p t?c nh? th? m�i m�i, so s�nh 2 h�nh d??i ?�y.

H�nh 10

H�nh 11

Ch�ng ta v?a ra kh?i khu r?ng khoa h?c ch?ng ch?t, nh�n l�n b?u tr?i xanh trong, tho?ng tho�t, t??ng nh? ?� b? l?i ??ng sau m?t ?o?n ???ng ??i, d�i th?m th?m, v� c?m th?y l�ng thanh th?n. Khoa h?c, r?t c�ng c?ng ch? l� s?n ph?m c?a nh?n th?c v� tr� tu? con ng??i, v� th? hay v?n h?c ngh? thu?t l� m?t m?t kh�c n?a, ?� t?ng song h�nh l�m n�n n?n v?n minh. N?u ch? ngh?a H?u c?u tr�c (Post-Structuralism) v�o th?p ni�n 1960 ?� ph� v? ranh gi?i gi?a tri?t h?c v� c�c ng�nh ngh? thu?t, th� l� thuy?t h?n mang, m?t l?n n?a ph� v? b?c t??ng ki�n c? cu?i c�ng ph�n bi?t gi?a khoa h?c, tri?t h?c, v?n h?c v� ??i s?ng, ?? b??c v�o c�i to�n nh?t. C�i to�n nh?t ?y c� kh�c n�o v? tr? hay b? �c con ng??i v?i h�ng t? t? b�o th?n kinh kh�ng ng?ng t??ng t�c l?n nhau, ngay c? trong gi?c ng?, l� m?t b? m�y b� m?t ch?a ai c� th? kh�m ph�, bao g?m th? gi?i � ni?m l� chi?u tuy?n t�nh v� c?m x�c, t�nh t? con ng??i l� chi?u phi tuy?n t�nh, k?t h?p l�m th�nh cu?c ??i. B??c v�o c�i to�n nh?t l� t? m�nh bu�ng r?i trong h?n mang, h�a tan m?i th? gi?i trong ta � nh?ng bi?u ?? qu? ??o c?a ba thi�n th? v� hi?u ?ng c�nh b??m, nh?ng y?u t? tr?t t? v?n c? hi?n hi?n, b�m ri?t kh�ng ng?ng trong t�m tr�, nh? v? thi?n s?, sau khi tr?i qua bi?t bao n?o ???ng gian nan, ?i t�m ch�n l�, d?ng l?i tr??c c�nh c?a cu?i c�ng, tr?m ng�m, kh�ng bi?t l�m sao khai m?. Nh?ng bi?u ?? gi?ng nh? c�ng �n thi?n, nh?ng h?p l?c k? l?, ph?i ???c ki?n gi?i, v� nh? th? h�y c? ?? nh?ng h�nh ?nh �m ?nh cho ??n bao gi? tr�n ??y, t?c n??c, ??y ch�ng ta ?i t?i�