Kh? Im
C?T B??C VO ??I
Cu?c ??i c nh?ng chuy?n l? lng, khng ai ng? tr??c, ch? v?i m?t chi?c my ?i?n ton ? ??a t?i s? khm ph ra l thuy?t h?n mang v hnh h?c Fractal (Fractal Geometry), ?? r?i khoa h?c b??c ra kh?i th? gi?i thu?n l, tr?u t??ng, tr? v? hi?n th?c, gi?i thch nh?ng hi?n t??ng ??i s?ng. L thuy?t h?n mang ???c ??nh ngh?a nh? s? v?n hnh ng?u nhin x?y ra trong m?t h? th?ng t?t ??nh. M?t s? c? x?y ra, x?y ra ai c?ng c th? bi?t tr??c v n ? t?ng x?y ra trong qu kh?. Newton v Einstein ??u c?n c? trn nguyn l t?t ??nh nh? th? qua nh?ng cng trnh khoa h?c c?a h?. Nh?ng th?c t? khng bao gi? c chuy?n ?, v ch? m?t ?nh h??ng tnh c? r?t nh?, ngoi s? hi?u bi?t c?a chng ta, v c khi ch?ng lin quan t?i bi?n c?, c?ng ??a t?i k?t qu? khc h?n.
H?n hai ngn n?m k? t? Euclid, v g?n ba tr?m n?m k? t? Newton, khoa h?c lm m?t cu?c cch m?ng ch?a t?ng c, v?i l thuy?t h?n mang v hnh h?c Fractal, tr? thnh Tn khoa h?c (New Science), thay ??i s? am hi?u ton tri?t c?a con ng??i v? hi?n th?c. N?u khoa h?c ???c coi nh? tri?t h?c t? nhin (Natural Philosophy) th t? b?y lu nay, ? khng ?ng v?i th?c t?i, b?i th? gi?i chng ta ?ang s?ng khng c nh?ng gc c?nh tr?n tru (smooth edge), m l th nhm (rough edge). Nh?ng b? m?t tr?n tru khng c trong thin nhin, v hnh h?c Euclid v?i ???ng th?ng, ???ng trn, hnh vung, kh?i vung, ch? l nh?ng hnh d?ng l t??ng c?a con ng??i, khng ph?i do thin nhin t?o ra. Euclid l m?t nh ton h?c Hy l?p, s?ng vo kho?ng 300 tr??c cng nguyn, h?c tr c?a h?c tr Plato, l gio s? v h?c gi? t?i Alexandria, Ai c?p, tc gi? cu?n The Elements. ??nh ?? Euclid g?m 5 ??nh ?? c?n b?n:
1. C th? v? m?t ???ng th?ng ?i qua b?t c? hai ?i?m no.
2. C th? ko di ???ng th?ng ??n v t?n.
3. C th? v? m?t ???ng trn v?i m?t bn knh v tm ?i?m.
4. T?t c? cc gc gi?ng nhau ??u b?ng nhau.
5. V?i m?t ???ng th?ng v m?t ?i?m ? ngoi ???ng th?ng, ch? c th? v? m?t ???ng th?ng song song, v ch? m?t ???ng th?ng m thi.
Hnh h?c Euclid cn g?i l hnh h?c ph?ng, ???c coi nh? b?n thnh kinh v? ton h?c, chi ph?i v ???c p d?ng cho ??n n?a th? k? th? 19, khi hnh h?c phi Euclid (Non-Euclid), ???c pht hi?n v?i nh?ng nh ton h?c nh? Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Nh ton h?c Nga Nikolay Ivanovich Lobachevsky (1793-1856) v nh ton h?c Hungary Janos Bolyai (1802-1860). Hnh h?c phi Euclid ch? khng ??ng v?i hnh h?c Euclid m?t ?i?m: V?i m?t ???ng th?ng L v t? m?t ?i?m ngoi ???ng th?ng, c th? v? v s? nh?ng ???ng th?ng song song v?i ???ng th?ng L. T?i th? k? th? 15, Johannes Kepler (1571-1603) l ng??i ??u tin nh?n ra qu? ??o c?a nh?ng hnh tinh l hnh b?u d?c (ellipse), khng ph?i vng trn. Sir Issac Newton (1642-1727) v Gottfried Wilheim Leibniz (1646-1716) pht hi?n ra Calculus, dng php vi phn (differentiation) v tch phn (integration), m? ra cch c?a v cng t?n ?? di?n ??t v gi?i thch nh?ng b ?n c?a v? tr? qua ton h?c. V sau ny Einstein d?a vo ni?m c?a c? hnh h?c phi Euclid v Newton ?? pht tri?n thuy?t t??ng ??i.
Vo th?p nin 1970, Benoit Mandelbrot (sinh n?m 1924), nh ton h?c v v?t l Php sinh t?i Ba lan, lm vi?c cho hng IBM, ? khm ph ra hnh h?c Fractal (Fractal Geometry), tc ph?m c?a ng, The Fractal Geometry of Nature (1977), khi quan st v nghin c?u nh?ng hnh d?ng khng ??u ??n, khng lin t?c v ??t gy, trong thin nhin. Y?u t? chnh c?a hnh h?c Fractal l s? t? t??ng ??ng (Self- Similarity), c ngh?a l n?u phng ??i m?t hnh ?nh, n s? gi?ng y hnh ?nh ch?a phng ??i. C? th?, khi b? m?t nhnh bng c?i (cauliflower), c? b? nh? d?n, nh? d?n, mi?ng nh? trng gi?ng y mi?ng l?n v ton th?. Mandelbrot kh?i ??u l m?t nh kinh t? h?c. Nh?ng nh kinh t? tin t??ng r?ng m?t thay ??i r?t nh? s? khng c ?nh h??ng g trong th?i k? di, nh?ng Mandelbrot nhn vo h? th?ng m?t cch ton th?, khng lo?i b? nh?ng thay ??i nh? ra kh?i ci ton c?nh l?n, ch ??n s? th?ng tr?m trong nh?ng d? ki?n khc nhau, nh?n ra ??c ?i?m, gi bng gn tr? l?i sau nhi?u n?m. Khi nhn vo d? ki?n t? nhi?u thang s? khc nhau, nh?ng d?ng th?c ti di?n tr? l?i, nh? khi v? bi?u ?? v? s? thay ??i gi c? hng ngy v hng thng, bi?u ?? trng r?t quen thu?c. M?t l?n ng gi?i quy?t ti?ng ?n, lc m?t ti?ng, lc b?t thnh lnh l?i bng ln, trong ???ng dy ?i?n tho?i dng ?? n?i v?i nhi?u computer. Nh?ng d?ng th?c ti?ng ?n lun lun x?y ra t?ng chm, v khi l?y m?t th?i k? ti?ng ?n, phng ??i ln, ng th?y c vi th?i k? khng ti?ng. Nh?ng th?i k? ti?ng ?n lun lun c th?i k?, c tnh truy?n d?n t?t ?n ? bn trong.
Hnh h?c Fractal gi? vai tr then ch?t trong l thuy?t h?n mang. N?u hnh h?c Fractal l s? t? t??ng ??ng ? b?t c? thang s? no, gi?ng nh? nhnh bng c?i th h?n mang ty thu?c vo s? nh?y c?m c?a nh?ng ?i?u ki?n kh?i ??u v khng th? ?on tr??c. James Gleick, trong cu?n Chaos, Making a New Science nh?n m?nh, trong th? k? 20 c ba cu?c cch m?ng l?n v? khoa h?c, ? l l thuy?t t??ng ??i, l thuy?t c? h?c l??ng t? v l thuy?t h?n mang. Thuy?t t??ng ??i bc b? ?o t??ng Newton v? s? tuy?t ??i c?a khng gian v th?i gian, thuy?t l??ng t? bc b? gi?c m? Newton v? ti?n trnh ki?m sot ?o l??ng v thuy?t h?n mang bc b? s? khng t??ng c?a Laplace v? s? tin ?on t?t ??nh. Pierre-Simon Laplace (1749-1827) l m?t nh v?t l Php, n?i ti?ng trong m?t trch d?n, th??ng g?i l Laplaces Demon, cho r?ng tr?ng thi hi?n t?i c?a v? tr? l k?t qu? c?a qu kh? v nguyn nhn c?a t??ng lai. M?i th? ??u ???c tin ?on tr??c, khng tnh c?, khng ch?n l?a, ch?c ch?n, v qu kh? hon ton quy?t ??nh t??ng lai, theo nguyn l t?t ??nh.
Nh?ng t? Newton ??n Poincar, khng ai gi?i quy?t n?i tnh tr?ng nan gi?i v ??n gi?n v? qu? ??o c?a m?t ??t (earth) v hai m?t tr?i (sun). V ph?i ??i l thuy?t h?n mang v hnh h?c Fractal m?i gi?i t?a ???c b? t?c r?t nh? ny, sai m?t ly ?i m?t d?m, ? ??y khoa h?c theo m?t chi?u tuy?n tnh g?n ba th? k?. Tuy nhin, Tn khoa h?c khng ph? nh?n, m bao g?m c? khoa h?c c? ?i?n. C?ng nh? hnh h?c Fractal l n?i di, khng thay th? m ch? lm phong ph v su xa thm s?c m?nh c?a hnh h?c Euclid. Phi t?t ??nh bao g?m t?t ??nh, phi tuy?n tnh bao g?m tuy?n tnh, c?ng nh? h?n mang bao g?m nh?ng y?u t? tr?t t?.
V?n ?? ba thin th? (Three-body problem)
Khi Newton khm ph ra lu?t chuy?n ??ng v tr?ng l?c (Laws of Motion and Gravitation), ng dng hai khm ph ny ?? gi?i thch qu? ??o tri ??t chung quanh m?t tr?i m?t tr?i l m?t ??nh tinh trong khng gian v qu? ??o tri ??t l hnh b?u d?c. C th? ni, m?t tr?i l m?t attractor c?a tri ??t. Nh?ng v? tr? khng ph?i ch? c tri ??t v m?t tr?i m cn nhi?u thin th? khc, nh? v?y qu? ??o c?a ton th? v? tr? ?u ph?i ch? l m?t hnh b?u d?c. ??n ??u th? k? 20, nh ton h?c Henri Poincar (1854-1912) trong m?t nghin c?u v? v?n ?? ba thin th? (Three-body Problem) cho th?y, s? ti?n ha c?a h? th?ng nh? v?y th??ng h?n mang, b?i m?t xo tr?n nh? trong tr?ng thi ??u tin c?a m?t trong ba thin th? c th? thay ??i tri?t ?? tr?ng thi sau cng. S? thay ??i nh? nhng ? kh c th? pht hi?n b?ng ph??ng ti?n ?o l??ng, v th? khng th? no ?on tr??c chuy?n g s? x?y ra. L do v, tr?ng l?c l m?t l?c phi tuy?n tnh, v trong h? th?ng ba thin th?, m?i thin th? t?o ra l?c trn hai thin th? kia, d?n t?i s? ph?n h?i phi tuy?n tnh v chuy?n ??ng h?n mang c?a nh?ng qu? ??o. Poincar chnh l ng??i ??u tin khm ph ra h?n mang, v s? sai l?m c?a ch? ngh?a t?t ??nh, nh?ng khng ai quan tm t?i sau nhi?u th?p nin, b?i nh?ng nh khoa h?c cn b?n t?m t?i hai l thuy?t quan tr?ng l thuy?t l??ng t? v thuy?t t??ng ??i.
Vo th?p nin 1960, b?ng computer, nh?ng nh khoa h?c nhn ra qu? ??o tri ??t v hai m?t tr?i theo m hnh nh? sau:
Hnh 1
So snh hai hnh bn tri v ph?i, v?i m?t ?i?m tri ??t ? gi?a hai m?t tr?i: tri ??t ch?y th?ng t? d??i ln trn, vng qua m?t tr?i ? bn ph?i, r?i ch?y t?i v? tr c?, t?o thnh hai qu? ??o g?n gi?ng nhau, sau ? b?t ??u phn k?, khng bao gi? l?p l?i nh? th? n?a. S? phn k? ny l do nh?ng khc bi?t r?t nh? m chng ta g?i l s? ty thu?c m?n c?m vo nh?ng ?i?u ki?n ban ??u (Sensitive Dependence on Initial Conditions). Hai hnh trn ch? l qu? ??o trong m?t kho?ng th?i gian r?t ng?n.
Hnh 2
?y l ton qu? ??o c?a tri ??t v hai m?t tr?i, trong ti?n trnh t?i v h?n. Qu? ??i tri ??t s? khng bao gi? t? n l?p l?i, tuy h?n mang ? bn trong nh?ng v?n n?m trong m?t c?u trc, lun lun th?ng b?ng v ?n ??nh. H? th?ng tr?ng l?c ??n gi?n ny l m?t h? th?ng h?n mang.
Hi?u ?ng cnh b??m (Butterfly Effect)
L thuy?t h?n mang ???c nh kh t??ng h?c Edward Lorenz (sinh n?m 1927) khm ph ra vo n?m 1961, khi ng dng computer, vi?t m?t ch??ng trnh c?n b?n ton h?c ?? nghin c?u m hnh ??n gi?n c?a th?i ti?t s? t??ng quan gi?a ba y?u t? kh t??ng phi tuy?n tnh: nhi?t ??, p xu?t v s?c gi lm sao m?t lu?ng khng kh n?i ln r?i tan ?i d??i s?c nng m?t tr?i. Nh?ng m s? computer c?a Lorenz g?m 12 ph??ng trnh ton h?c cho nh?ng lu?ng ch?y c?a khng kh, di?n ??t s? lin h? gi?a nhi?t ?? v p su?t, gi?a p su?t v s?c gi. V m s? computer t?t ??nh, ng ngh? r?ng khi ??a vo cng m?t gi tr? ban ??u, s? c k?t qu? y nh? v?y khi ch?y ch??ng trnh. ng ng?c nhin khi nh?n ???c k?t qu? khc bi?t, ki?m l?i th ra, ng ? ??a vo t?ng lc nh?ng sai bi?t r?t nh?.
Cu chuy?n ???c k? l?i nh? sau:
Vo m?t ngy n?m 1961, Lorenz mu?n th?y m?t ?o?n ??c bi?t no ? m?t l?n n?a. Thay v ch?y c? m?t chu?i di v r?t lu, ng ?i t?t, b?t ??u ? kho?ng gi?a thay v t? ??u. ng ?nh th?ng con s? ? in ra t? l?n tr??c r?i b? ?i u?ng c ph. Khi tr? l?i kho?ng m?t gi? sau, ng khng tin ? m?t mnh, bi?u ?? m?i ti?n tri?n khc h?n v?i bi?u ?? lc ??u. Thay v hai d?ng th?c gi?ng nhau, n phn k? v k?t thc hon ton khc. Sau ? ng m?i bi?t c s? l?m l?n, thay v ?nh ?ng con s? l 0.506127 (trong b? nh? computer), ng l?i ch? ?nh 0.506. S? sai bi?t m?t ph?n n?m ngn, th?t khng h?p l, v ng nghi?m ra, s? khc bi?t r?t nh? trong nh?ng ?i?u ki?n ??u, nh? m?t h?i gi tho?ng, c?ng c th? t?o nn tai bi?n. Tin ?on th?i ti?t tr? nn khng th? ???c trong m?t th?i gian lu di v ch? c?n s? thay ??i t ti c?a s?c gi, p xu?t hay nhi?t ??, ngay c? nh?ng y?u t? ngoi th?i ti?t c?ng lm xo tr?n kh h?u nh? m?t cnh b??m ??p ch?ng h?n.
Bi?u ?? sau ?y cho th?y s? phn k? c?a hai d?ng th?c 0.506 v 0.506127, ch? khc bi?t m?t sai s? r?t nh? l 0.000127. ?o?n ??u th trng l?p, nh?ng sau ? th phn k? r?t l?n. (Hnh 3)
Hnh 3
V?i m?c ?ch th? nghi?m, ng nghin c?u thm s? ??i l?u c?a ch?t l?ng (fluid convection), g?i l h? th?ng d?ng kh (gaseous system), b? ch?t kh (homogenous, preferably elemental, gaseous substance) vo m?t chi?c h?p hnh ch? nh?t v ?un nng ln.
Hnh 4
M?i ??u, m?t ph?n ch?t l?ng g?n v?i vch h?p b?t ??u nng v n?i ln, t?i m?t ?? nng nh?t ??nh, ch?t l?ng cu?n l?i, n?m theo chi?u di h?p (hnh bn tri). Ch?t l?ng ?m n?i ln v? m?t bn, ??ng qui, ch?t l?ng ngu?i r?i vo bn khc ti?n trnh ??i l?u. V?i nhi?t ?? bnh th??ng, s? chuy?n ??ng trn c?a ch?t l?ng s? bnh th??ng v bi?t tr??c. Nh?ng khi nhi?t ?? nng h?n (hnh bn ph?i), h? th?ng m?t ?n ??nh, chao ??o d?c theo chi?u di hnh ?ng vin tru (cylinder), t? sau ra tr??c. Nh?ng dng cu?n khng ??n gi?n cu?n l?i trong cng m?t chi?u, m cu?n l?i theo m?t chi?u, ng?ng m?t lt r?i cu?n ngh?ch l?i. Sau ?, ??t nhin, ch?t l?ng cu?n ngh?ch l?i l?n n?a, dao ??ng ti?p t?c ? m?t th?i ?i?m v t?c ?? khng th? bi?t tr??c. V?i nhi?t ?? cao, h? th?ng tr? nn h?n mang.
Sau ? ng lm th? nghi?m v?i h? th?ng quay n??c (waterwheel), c?ng cho k?t qu? t??ng t?.
B?n ??c c th? ??c nh? m?t ghi ch (trong bi).
Th nghi?m v?i h? th?ng d?ng kh, chng ta c ba ph??ng trnh vi phn phi tuy?n tnh, bi?u di?n trn hai tr?c honh ?? (th?i gian t) v tung ?? x, y, z. Ba bi?u ?? x, y, z l?n l??t nh? sau:
V?i X l ?? quay c?a hnh ?ng vin tr?, tr? s? 10 (delta) l ?? tr?n c?a ch?t l?ng. Chng ta c ph??ng trnh:
dx/dt = -10x + 10y
Hnh 5
V?i Y l s? khc bi?t nhi?t ?? gi?a hai bn ??i di?n c?a hnh ?ng vin tr?, tr? s? 28 (r) l s? khc bi?t nhi?t ?? c?a ch?t l?ng ? trn m?t v ph?n d??i ?y. Chng ta c ph??ng trnh:
dy/dt = 28x y +xz
Hnh 6
V?i Z l ?? l?ch c?a h? th?ng theo tuy?n tnh, tr? s? 8/3 (b) l t? l? gi?a b? r?ng v b? cao
c?a h?p. Chng ta c ph??ng trnh:
dz/dt = -8/3x + xy
Hnh 7
N?u k?t h?p bi?n s? (variable) c?a ba ph??ng trnh trn m?t khng gian (v? t??ng) nhi?u chi?u (phase space), chng ta c hi?u ?ng cnh b??m. G?i nh? th? v nh?ng qu? ??o lun lun ph?n h?i v l?p l?i, nh?ng v nh?ng ?i?u ki?n ??u khng bao gi? gi?ng nhau, nn d l?p l?i nh?ng cc qu? ??o khng bao gi? trng l?p. ?y l bi?u ?? nhn qua m?t m?t ph?ng:
Hnh 8
Nhn hnh v? trn, gi?ng nh? hai cnh b??m (c khi l hnh d?ng hai m?t c, c khi gi?ng nh? hai chi?c ??a gi?y, n?m song song), n?i k?t v?i nhau b?i m?t cu?n dy ch?, ???c v? t? m?t ?i?m ? ngoi cnh b??m, vng qua cnh bn ph?i, v??n t?i trung tm cnh bn tri, v ti?p t?c ?an d?t qua l?i gi?a hai cnh, chuy?n ??ng t??ng nh? ng?u nhin, ph?n ?nh ti?n trnh h?n mang. Hi?u ?ng cnh b??m Lorenz theo ?ng v?i ti?n trnh qu? ??o c?a ba thin th?, ty thu?c m?n c?m vo nh?ng ?i?u ki?n ??u tin, nh?ng thay ??i r?t nh? trong m?t h? th?ng ??ng qui c th? t?o nn k?t qu? khc bi?t r?t l?n. V hnh sau ?y gip chng ta nhn th?y r h?n qu? ??o c?a ba ph??ng trnh trn computer, trn m?t khng gian ?a chi?u, r?t d? hnh dung.
Hnh 9
Nh?n ra ???c hi?u ?ng cnh b??m c?a Lorenz, chng ta nh?n ra ???c s? v?n hnh c?a hi?n t??ng h?n mang. D? nhin m?i hi?n t??ng c m?t hi?u ?ng cnh b??m khc nhau, nh?ng y?u t? tr?t t? v th? l y?u tnh c?a tr?t t?. ?? hi?u ???c y?u t? tr?t t? (hay d?ng th?c) hi?n ra nh? th? no, c?n t?i s? gi?i thch c?a ph??ng trnh v?n th?c (Logistic Equation).
B?n ?? v?n th?c (The Logistic Map)
Nh kinh t? chnh tr? h?c ng??i Anh, Thomas Malthus (1766-1834), quan tm t?i ?i?u ki?n sinh s?ng ? Anh vo th? k? 19, nh?n xt r?ng dn s? t?ng theo c?p s? nhn trong khi th?c ph?m ch? t?ng m?t cch tuy?n tnh, v nh? th? s? ??a t?i n?n ?i t?p th?, n?u khng ?i?u ha s? sinh s?n, nh?t l n?i nh?ng giai c?p th?p. Nh?ng trn th?c t?, khi dn s? t?ng t?i m?t m?c no ?, s? khng t?ng n?a. Th?p nin 1940, nh ton h?c o Pierre Francois Verhulst (1804-49), ??a ra m?t ph??ng trnh qua ? c th? tm ra ???c tnh tr?ng ?n ??nh trong vi?c t?ng dn s?. Ph??ng trnh v?n th?c phi tuy?n tnh c?a Verhulst ? b? b? qun, c l? v thi?u d? ki?n dn s? thch ?ng ?? p d?ng tin ?on, trong nh?ng tr??ng h?p ph h?p, dn s? s? cn b?ng v ?n ??nh. N?u dn s? gi?m d??i m?t m?c nh?t ??nh no ?, n?m sau c khuynh h??ng t?ng, trong khi ln qu cao (thi?u ch? ? v l??ng th?c), s? gi?m xu?ng.
Vo th?p nin 1970, Robert May (sinh n?m 1936), m?t nh sinh thi h?c ? vn mn b m?t, khi ch t?i ph??ng trnh Verhulst, cho r?ng gia t?ng s? m?n c?m c?a h? th?ng, t?o nn s? dao ??ng (oscillation) k? l?, dn s? t?ng qu nhi?u trong n?m s? c s? b tr?, gi?m trong n?m k? ti?p, v tr? l?i t?ng trong n?m sau n?a. D?ng th?c l?p l?i c? trong 2 n?m, v l?p l?i mi mi, g?i l s? trng l?p (iteration).
Ph?n ny c?ng ch? nh? m?t ghi ch, ch?ng minh m?t cch chnh xc nh?ng y?u t? tr?t t? hi?n ra nh? th? no.
X (next) = rx(1-x)
Cng th?c phi tuy?n tnh trn c ngh?a, n?u X tr? nn l?n h?n, th (1 X) s? tr? nn nh? h?n, t?o nn s? ph?n h?i (feedback)
Th d? v?i s? t?ng gi?m c.
X tiu bi?u cho m?t s? gi?a Zero v 1. Zero tiu bi?u cho s? tuy?t gi?ng v 1 tiu bi?u cho s? t?ng tr??ng t?i ?a dn s?. r l m?c ?? t?ng (growth rate), m?t h?ng s?.
Cho r = 2.6
Gi? th? x = 0.2.
1-x = 0.8 v x(x-1) = 0.2 x 0.8 = 0.16
Nhn v?i 2.6 v chng ta c 0.416.
L?y ??u ra l 0.416 lm ??u vo, b?t ??u l?i v?i cng th?c trn. By gi? chng ta b?t ??u
v?i x = 0.416 v ???c 0.6317. S? c t?ng.
B?t ??u v?i 0.6317 v ???c 0.6049. S? c gi?m.
B?t ??u v?i 0.6049 v ???c 0.6214. S? c l?i t?ng.
R?i ti?p t?c chng ta ???c: 0.6117, 0.6176, 0.6141, 0.6162, 0.6150, 0.6156, 0.6152,
0.6155, 0.6153, 0.6154, 0.6153, 0.6154, 0.6154, 0.6154.
V?i r = 2.6 chng ta ch? c m?t gi tr? ?n ??nh l 0.6154 (negative feedback)
Lm nh? th? v?i r = 3.1, cu?i cng chng ta c nh?ng s? 0.5582, 0.7645, 0.5582, 0.7645.
V?i r = 3.1 chng ta c hai gi tr? ?n ??nh: 0.5582 v 0.7645.
Lm nh? th? v?i r = 3.5, cu?i cng chng ta c ???c: 0.8750, 0.3828, 0.8270, 0.5011,
0.8750, 0.3828, 0.8270.
V?i r = 3.5 chng ta c 4 gi tr? ?n ??nh: 0.8750, 0.3828, 0.8270, 0.5011
Theo cch tnh trn, n?u l?y ??u ra (output) c?a m?t l?n tnh, lm ??u vo (input) c?a m?t l?n tnh th? hai, v c? nh? th? mi mi, cho ta ni?m v? s? trng l?p nh?ng con s? ?n ??nh. C ngh?a l trong m?t h? th?ng h?n mang, nh?ng d?ng th?c tr?t t? xu?t hi?n, nh?ng lun lun thay ??i v khng bao gi? gi?ng v?i d?ng th?c tr?t t? ban ??u. ?i?m r? (Birfurcation Point) ??u tin khi r = 2.6 (trn tr?c honh ??), t?o nn tr? s? ?n ??nh 0.6154 (trn tr?c tung ??), nh?ng sau ? s? m?n c?m c?a h? th?ng gia t?ng, tr? s? ?n ??nh b? dao ??ng, v v? nn nh?ng ???ng qu? ??o ti?n t?i th?i k? hai, v?i r= 3.1 v hai tr? s? ?n ??nh 0.5582 v 0.7645. V ? th?i k? 4, v?i r= 3.5 v b?n tr? s? ?n ??nh l 0.8750, 0.3828, 0.8270, 0.5011, r?i sau ? ?i vo h?n mang. Nh?ng trong h?n mang lun lun ti?p t?c xu?t hi?n nh?ng y?u t? ?n ??nh, v l?p l?i ton cch tnh, n?u chng ta ti?p t?c nh? th? mi mi, so snh 2 hnh d??i ?y.
Hnh 10
Hnh 11
Chng ta v?a ra kh?i khu r?ng khoa h?c ch?ng ch?t, nhn ln b?u tr?i xanh trong, tho?ng thot, t??ng nh? ? b? l?i ??ng sau m?t ?o?n ???ng ??i, di th?m th?m, v c?m th?y lng thanh th?n. Khoa h?c, r?t cng c?ng ch? l s?n ph?m c?a nh?n th?c v tr tu? con ng??i, v th? hay v?n h?c ngh? thu?t l m?t m?t khc n?a, ? t?ng song hnh lm nn n?n v?n minh. N?u ch? ngh?a H?u c?u trc (Post-Structuralism) vo th?p nin 1960 ? ph v? ranh gi?i gi?a tri?t h?c v cc ngnh ngh? thu?t, th l thuy?t h?n mang, m?t l?n n?a ph v? b?c t??ng kin c? cu?i cng phn bi?t gi?a khoa h?c, tri?t h?c, v?n h?c v ??i s?ng, ?? b??c vo ci ton nh?t. Ci ton nh?t ?y c khc no v? tr? hay b? c con ng??i v?i hng t? t? bo th?n kinh khng ng?ng t??ng tc l?n nhau, ngay c? trong gi?c ng?, l m?t b? my b m?t ch?a ai c th? khm ph, bao g?m th? gi?i ni?m l chi?u tuy?n tnh v c?m xc, tnh t? con ng??i l chi?u phi tuy?n tnh, k?t h?p lm thnh cu?c ??i. B??c vo ci ton nh?t l t? mnh bung r?i trong h?n mang, ha tan m?i th? gi?i trong ta nh?ng bi?u ?? qu? ??o c?a ba thin th? v hi?u ?ng cnh b??m, nh?ng y?u t? tr?t t? v?n c? hi?n hi?n, bm ri?t khng ng?ng trong tm tr, nh? v? thi?n s?, sau khi tr?i qua bi?t bao n?o ???ng gian nan, ?i tm chn l, d?ng l?i tr??c cnh c?a cu?i cng, tr?m ngm, khng bi?t lm sao khai m?. Nh?ng bi?u ?? gi?ng nh? cng n thi?n, nh?ng h?p l?c k? l?, ph?i ???c ki?n gi?i, v nh? th? hy c? ?? nh?ng hnh ?nh m ?nh cho ??n bao gi? trn ??y, t?c n??c, ??y chng ta ?i t?i